1) продолжать преследовать The police kept after the criminals until at last they caught them. ≈ Полиция искала преступников, пока не поймала их.
2) ругать She keeps after the children the whole time, never lets them have a minute's peace. ≈ Она все время ругает детей, не дает им ни минуты покоя.
3) настаивать, убеждать They kept after me to buy a new car. ≈ Она настаивали, чтобы я купил новую машину.