Теория вероятностей
≈ есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. Приведем пример. Вероятность вынуть туза из полной колоды карт равна 4/52, или 1/13, так как всего карт 52 и из них 4 туза; вероятность вынуть короля тоже равна 1/13. Вероятность вынуть туза или короля будет 1/13+1/13 = 2/13. Рассматриваемые события несовместны, так как появление одного из событий исключает появление другого. Вероятность вынуть туза или трефовую карту не равна 1/13 + 1/4, так как вынутый туз мог бы оказаться трефовой масти. В этом случае события нельзя назвать несовместными и потому нельзя прилагать высказанной теоремы, вероятность появления событий Е и F равна вероятности Е , умноженной на вероятность F, вычисленную в том предположении, что Е случилось. Например, вероятность вынуть два туза из полной колоды карт равна (4/52)∙(3/51), так как после появления туза в колоде останется 51 карта и в том числе 3 туза. Если же вынимать карты последовательно и вынутую карту возвратить в колоду, то вероятность вынуть 2 туза равна (4/52) 2 . Предположим, что при повторении испытаний вероятность появиться событию Е постоянно остается равною р. В таком случае вероятность того, что при п испытаниях событие Е появится т раз, будет 1 . 2 . 3... n 1 . 2 . 3...( n ≈ m ) k (1 ≈ p ) n≈m , где k = p m . Если п и т очень велики, то Лаплас доказал, что интеграл есть приближенное выражение вероятности того, что т заключается между и . Отсюда легко выводится следующая теорема Якова Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что при достаточно большом п численное значениe разности ( m / n ≈ р ) сколь угодно мало. Предположим, что вероятность события Е меняется при каждом испытании и что при n испытаниях эта вероятность принимала значения p 1 , p 2 ,... р п . Если т обозначает число появлений события Е при п испытаниях, то при достаточно большом п имеет место теорема Пуассона. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что численное значение разности m / n = ( p 1 +p 2 + ... +p n )/ n сколь угодно мало. Если величина х может принимать значения x 1 , x 2 ,... x п , вероятности которых суть p 1 , p 2 ,... р п , то число x 1 p 1 +x 2 p 2 + ... +x n p n называется математическим ожиданием величины х. Если а , b , с ,... k математические ожидания независимых величин x , y , z ,... и , а а 1 , b 1 , c 1 ,... k 1 математические ожидания квадратов этих величин, то с вероятностью большей чем 1 ≈ 1/ t 2 можно утверждать, что x+y+ z+ ... +u принимает значение, лежащее между В этом состоит теорема Чебышева. В случае большого числа величин х , у , z ,... u Лаплас доказал, что интеграл есть приближенное выражение вероятности того, что x+y+z+ ... +u принимает значение, лежащее между Предположим, что а , b , с ,... k больше некоторого положительного числа А , а каждое из чисел a 1 , b 1 , с 1 ... k 1 не превышает числа B. Если n , число величин х , y , z,... u , может быть сколько угодно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что сумма х+у + z +...+ u превзойдет любое данное число. На основании этой теоремы определяется выгодность или убыточность предприятия. Если математическое ожидание прибыли от какого-нибудь предприятия число положительное, то такое предприятие выгодное. Хотя и возможны убытки, но с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, прибыль будет сколь угодно велика, если продолжать участие в предприятии. Литература. В. Я. Буняковский, "Основания математической теории вероятностей" (СПб., 1846); В. П. Ермаков, "Teopия вероятностей" (Киев, 1879); П. А Некрасов, "Teopия вероятностей" (М., 1896); Н. А. Забудский, "Теория вероятностей и применение ее к стрельбе и пристрелке" (СПб., 1898); М. А. Тихомандрицкий, "Курс теории вероятностей" (Харьков, 1898); А. А. Марков, "Исчисление вероятностей" (СПб. 1900); Laplace, "Th éorie analytique des probabilité s" (П., 1820); Poisson, "Recherches sur la probabilit é des jugements en matière criminelle et en matiè re civile" (П., 1837); Poisson, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigsten Anwendungen" (нем. перев. Schnuse, Брауншвейг, 1841); Lacroix, "Trait é élémentaire du calcul des probabilité s" (4-е изд. Пар., 1864); Todhunter, "A history of the mathematical theory of probability..." (Кембридж и Лонд., 1865); Lauren t, "Traité du calcul des probabilité s" (П., 1873); A. Meyer, "Calcul des probabilit é s" (Льеж, 1874); Liagre, "Calcul des probabilit é s" (Брюссель, 1879); Hagen, "Grundz ü ge der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Б., 1882); J. Bertrand, "Calcul des probabilit és" (П., 1889); Bobek, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Штутгарт, 1891); P. Poincare, "Calcul des probabilit é s" (П., 1896); Jakob Bernoulli, "Ars conjectandi" (1713; нем. перев., Haussner, Лпц., 1899); Ostwald's "Klassiker der exacten Wissenschaften" ╧╧ 107 и 108. Д. С.